Maths en 4eme

Les triangles ABC et A'B' C' sont symétriques par rapport à la droited.

Intuitivement, si on plie la figure le long de la droite d, les deux parties se superposent.

En déplaçant dans l'image mobile la droite d ou les points A, B et C, on constate que:
- les deux triangles sont superposables par retournement. Ils ont les mêmes longueurs et les mêmes angles. 
- deux droites symétriques par rapport à d (par exemple AC) et (A'C'), si elles ne sont par parallèles à d, se coupent sur d
- (AA'), (BB') et (CC')sont parallèles car elles sont toutes les trois perpendiculaires à d. 
- si le point A est sur d, il est confondu avec A'.

Le point A' est le symétrique du point A par rapport à la droite d si d est la médiatrice du segment [AA'].

Tout point de la droite d est son propre symétrique par rapport à d.

Les triangles ABC et A'B' C' sont symétriques par rapport au point O.

Intuitivement, la figure fait un demi tour autour du point O.

En déplaçant dans l'image mobile le point O ou les points A, B et C, on constate que:
- les deux triangles sont superposables . Ils ont les mêmes longueurs et les mêmes angles. 
- les segments [AA'], [BB'], [CC'] ont même milieu, O.

Le point B est le symétrique du point A par rapport au point O si O est le milieu de [AB].

Le point O est son propre symétrique par rapport à O.

image mobile

Si deux droites sont symétriques par rapport à un point, alors ces deux droites sont parallèles

Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par la translation qui transforme M en M'.

Intuitivement; le triangle ABC a glissé jusqu'au triangle A'B'C' sans tourner.

En déplaçant dans l'image mobile les point M,M' ou les points A, B ou C, on constate que:
- les deux triangles sont superposables . Ils ont les mêmes longueurs et les mêmes angles. 
- (AA'), (BB') et (CC) sont parallèles.
- AA' = BB '= CC'

image mobile

Si le point A' est l'image de A par la translation qui transforme M en M', alors AMM'A' est un parallélogramme.

image mobile

Dans un triangle rectangle, le côté le plus long est l'hypoténuse. Le cosinus d'un angle aigu est donc un nombre (sans unité), inférieur à 1

Dans le triangle ABC rectangle en A, on appelle cosinus de l'angleet on note  le nombre obtenu en divisant le côté adjacent à l'angle par l'hypoténuse.

Dans l'image mobile, on peut déplaçer le point A en gardant le même angle B. On peut calculer BA/BC pour plusieurs positions successives de A. On constate que, au centième près, onobtient toujours la même valeur ( 0,91). Si on garde le même angle, le cosinus ne change pas. C'est une valeur caractéristique de l'angle.

Calculer la valeur arrondie au degré près de .

Dans ABC rectangle en A, cos=, 
donc cos=, donc 25,8°, donc 26°.
Penser à vérifier que la valeur obtenue est vraissemblable par rapport à la figure.
exercices

Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour centre le milieu de l'hypoténuse.

Pour le tracer, inutile de construire les médiatrices des côtés du triangle!

Si M appartient au cercle de diamètre [AB], alors ABM est un triangle rectangle en M.

Quand on déplace le point M sur le cercle, l'angle reste un angle droit, sauf bien sûr si M est confondu avec A ou avec B.

Déplacer le point P:
quand il est à l'extérieur du disque, l'angle est aigu
quand il et sur le cercle, l'angle est droit
quand il est à l'intérieur du disque, l'angle est obtus.

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Si ABC est rectangle en A, alors

Dans un triangle retangle, l'aire du carré vert est égale à la somme des aires des carrés bleus et jaunes.

Le théorème de Pythagore sert à calculer des longueurs dans un triangle rectangle.

ABC est un triangle rectangle en A. Donc, d'après le théorème de Pythagore, 
=
Donc  = 100 + 25
 = 125
donc BC =  cm ( c'est la valeur exacte)
donc BC

Si dans un triangle le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est un triangle rectangle.

Si, alors ABC est un triangle rectangle en A.

La réciproque du théorème de Pythagore sert à prouver qu'un triangle est un triangle rectangle.

Comment prouver qu'un triangle est un triangle rectangle ?

ABC est un triangle tel que AB = 4 cm, AC = 3 cm et BC = 5 cm. ABC est-il un triangle rectangle ?

 = 16 + 9 = 25 
= 25
Donc =
Donc ABC est un trinagle rectangle en A d'après la réciproque du théorème de Pythagore.

Attention : Il faut calculer séparément le carré du côté le plus long et la somme des carrés des deux autres côtés.

De plus il faut comparer les valeurs exactes de ces deux nombres. On ne peut pas prouver une égalité en utilisant des valeurs approchées !

. image mobile

Dans le triangle ABC, 
si I est un point de [AB], si J est un point de [AC] et si (IJ) // ( BC), 
alors .

Si (IJ) et (BC) sont parallèles, alors les longueurs des côtés du petit triangle sont proportionnelles aux longueurs des côtés du grand triangle.

Le Théorème de Thalès sert à calculer des longueurs dans un triangle, à condition d'avoir deux droites parallèles.

Premier théorème des milieux :
La droite qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté.

Ce théorème sert à prouver que deux droites sont parallèles.

Deuxième théorème des milieux :
Le segment qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle mesure la moitié du troisième côté.

Ce théorème sert à calculer des longueurs.

Les côtés du petit triangle sont deux fois plus petits que les côtés du grand. Que se passe t-il pour les angles ? pour les aires ?

Troisième théorème des milieux :
La droite qui passe par le milieu d'un côté d'un triangle et qui est parallèle au troisième côté coupe le deuxième côté en son milieu.

Ce théorème sert à prouver qu'un point est le milieu d'un segment.

Les médiatrices des côtés du triangle sont concourantes. 
Leur point d'intersection est le centre du cercle circonscrit au triangle.

En déplaçant A, B ou C de l'image mobile, on peut constater que le point O ne reste pas toujours à l'intérieur du triangle : il "sort" du triangle si l'un des trois angles devient obtus. Et que se passe t-il si le triangle a un angle droit ?

 exercices

Les hauteurs du triangle sont concourantes. 
Leur point d'intersection s'appelle l'orthocentre du triangle.

En déplaçant A, B ou C de l'image mobile, on peut constater que le point H ne reste pas toujours à l'intérieur du triangle : il "sort" du triangle si l'un des trois angles devient obtus. Et que se passe t-il si le triangle a un angle droit ?

exercice(démonstration)

Les médianes du triangle sont concourantes. 
Leur point d'intersection est le centre de gravité du triangle.
Le centre de gravité est situé au tiers de chaque médiane.

On peut le constater sur l'image mobile, en tenant compte de l'arrondi de Cabri.

Le centre de gravité est le point d'équilibre du triangle : un triangle découpé dans un matériau homogène et posé sur son centre de gravité tient en équilibre. 
G est toujours à l'intérieur du triangle !
exercices(démonstration) 
exercices

image mobile

Les bissectrices des trois angles du triangle sont concourantes.

Leur point d'intersection est le centre du cercle inscrit dans le triangle, qui est le cercle intérieur au triangle et tangent aux trois côtés. Le centre de ce cercle est à égale distance des trois côtés du triangle.

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l'une s'obtiennent en multipliant les valeurs de l'autre par un nombre constant.
Ce nombre est le coefficient de proportionnalité.

0	1	3	9	12	x
0		1	3	4

Les deux suites de nombres sont proportionnelles. le coefficient de proportionnalité est 

Les points de la représentation graphique d'une relation de proportionnalitésont alignés sur une droite qui passe par l'origine du repère. 
 
Image mobile : on peut faire varier la pente de la doite et calculer le coefficient de proportionnalité.
On peut déplacer A et B sur la droite et vérifier la proprotionnalité des abscisses et des ordonnées.

Si l'une des grandeurs est multipliée par x, l'autre aussi.

Si deux pommes valent 1€, six pommes valent 3€.

La somme ou la différence de deux valeurs de la première grandeur correspondent à la somme ou à la différence des valeurs correspondantes de la deuxième grandeur.

Si 3 correspond à 1 et 12 correspond à 4, alors 15 ( 3+12 ) correspond à 
5 (1+4 ).

On peut calculer le coefficient de proportionnalité.

Si 7 choses valent 12 €, alors 1 chose vaut €, donc x choses valent

x €.

On peut faire le "produit en croix".

donc 

15% des élèves sont externes signifie que 15 élèves sur 100 sont externes.On a la relation de proportionnalité suivante:

On peut remarquer en passant que le pourcentages de demi pensionnaires est de 85%

Calcul d'un pourcentage d'un nombre:
Il y a 540 élèves dans le collège.

Le nombre d'externes est donc de 81 élèves.

Calcul d'un pourcentage:
432 élèves viennent au collège en car. 
 
Donc 80% des élèves prennent le car.
exercices

La vitesse moyenne d'un mobile qui parcourt la distance d en un temps t est le quotient de d par t. 
ou .

Les unités.

Si la distance est en km et le temps en heures, l'unité de vistesse est le ou .

Changement d'unité

Il suffit de convertir distance et temps dans l'unité voulue.

Calcul d'une vitesse moyenne:

Un automobiliste parcourt 18 km en 12 min. Quelle est sa vitesse moyenne ? 
 donc v = 1,5km/min.
 donc v = 90 km/h.

Calcul d'une distance :

, donc 

En 40 min à 90 km/h, on parcourt une distance de 
60 km.

Calcul du temps:

, donc .
, 
Il faut 2/3 h, c'est à dire 40 min pour parcourir 60 km à 90km/h.

2<3 est une inégalité vraie.
2>3 est une inégalité fausse ( on évite d'écrire des inégalités fausses!)
3x < 2-x est une inégalité qui peut être vraie ou fausse suivant la valeur donnée à l'inconnue x: c'est une inéquation. 
Résoudre l'inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles l'inégalité est vraie.

Premier membre:

34 = 12

12 > -2, donc l'inégalité est fausse pourx = 4. 
4 n'est pas une solution de cette inéquation.

Deuxième membre:

2 - 4 = -2

3x < 2 - x
3x+ x < 2 - x +x (on rassemble les termes en x) 
4x < 2 ( on compte)
 (on divise les deux membres de l'égalité par 4, qui est positif) 
( on simplifie)
Les solutions de cette inéquation sont tous les nombres strictement inférieurs à

On résout une inéquation comme une équation, en essayant d'obtenir un coefficient de x positif. 
Si l'on doit multiplier les deux membres de l'inégalité par un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité!

-5x  4 donc
x   (on multiplie les deux membres de l'inégalité par -5, donc on change le sens de l'inégalité).

        
Les solutions sont les nombres situés sur la partie de la droite coloriée en rouge. Le crochet indique que ne fait pas partie des solutions.

x        
Les solutions sont les nombres situés sur la partie de la droite coloriée en rouge. Le crochet indique que  fait partie des solutions.

 Pour calculer l’aire  A d’un trapèze, on utilise la formule suivante :
  _{A =} 
où B est la grande base, b est la petite base et h la hauteur.

Soit ABCD un trapèze rectangle de bases [AB] et [CD] tel que
AB = 7 cm, CD = 3 cm et BC = 5 cm.
1^e ) Montrer que la hauteur de ce trapèze est 3 cm.
2^e ) Calculer l’aire de ce trapèze.